无极自然的头脑风暴
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生物学,数学,物理,经济,社会学,管理学,系统科学
  

   
自亚当斯密开始,经济学家一直希望理解人类社会的经济规律:考虑一群自利的人所组成的一个社会,假如这群人可以自由的生产商品并自由的进行交易,那么这个社会最终可以井然有序的运行吗?
除此之外,一个更深刻的问题是:这个生物群落会以什么样的模式演化?
 
亚当斯密认为存在着一只“看不见的手”,会使得这个社会很好的运行起来,并且只有在个体“自利”和“自由”的条件下才可以保证社会群落运行的效率达到最高。后世的经济学家们将这个效率最高的状态称为“一般均衡状态”,并构造了一组方程来描述这个状态。这组方程就是著名的“阿罗-德布鲁一般均衡方程”,它们好似经济系统中的“牛顿方程”,是现代经济学的标准模型。尽管阿罗-德布鲁一般均衡方程是一个很漂亮的模型,但是经济学家很难通过这组方程解出社会的“真实状态”。道理很简单,阿罗-德布鲁一般均衡方程是一个“多代理人方程”,与“多体牛顿方程”类似,可导致“混沌”[1]。所以,仅仅依靠阿罗-德布鲁一般均衡方程是很难理解社会是如何演化的。
但是最近,Tao(2016)证明假如一个社会不仅服从阿罗-德布鲁一般均衡方程,并且还是产权明晰、司法公正(即,罗尔斯公正系统)的,那么该社会将自发生成“秩序”——指数收入分布[2]。这就是所谓的“自发秩序...
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2017-10-12 16:39:45 

   
学过量子力学的朋友都很熟悉“海森堡测不准公式”:
众所周知,海森堡测不准公式应该是量子力学中最基础的结果了,因为它的严格版本(不对易代数公式)被狄拉克用于建立了完整的量子力学,稍后又被看作量子力学哥本哈根诠释的根基之一。按照现有的文献记载,海森堡在发表这个公式前(1926年)曾与爱因斯坦有过关于“可观察量”的哲学对话,并深受爱氏的启发。但也正是海森堡的这一公式,让爱因斯坦终生难以释怀,因为它违背了爱因斯坦对场的定域性原则的笃信。
现有的关于海森堡测不准公式的推导主要基于波函数的概率表述与不对易代数公式。但是爱因斯坦对于这个推导非常的不满意,他曾批评道(见[1]中148页):“目前盛行的观点是,场论首先必须根据大致确立的规则,通过‘量子化’,变换成一个关于场概率的统计理论。我认为,这种方法仅仅是一种用线性方法描述本质上非线性特性的关系的尝试”。显然,在爱因斯坦看来,量子力学的本质理论应该是非线性的,但是传统量子力学的基础却是线性叠加。
对于如何寻求一个爱氏满意的量子力学理论,爱因斯坦没有明说,但却在其遗作《非对称场的相对论性理论》(1954年12月)中最后一段话透露了他耐人寻味的想法(见[1]中148页):“根据量子现象,可以肯定:一个有限能量的有限系统可以用一组有限的数字来描述。这看上去与连续统理论并不一致,必然导致企图寻求一个纯粹的代数理...
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  “分形”并不是一个陌生的观念,很多年前它着实火了一把。当时,人们把这个时髦的新观念引入到各自的领域,发了一大堆paper。然后,时髦的劲头过了,大家又发现“时髦”的东西好像“华而不实”:除了发paper,好像没有什么实际的用处。最后,各回各家,分形的研究又回归平静:真正喜欢它的人还在研究,追求“时髦”的人另寻它路。这样其实挺好的,太“热”的研究往往容易产生泡沫,就好像金融市场一样。所以巴菲特才说:“只有等到海潮退去才能知道谁在裸泳”。现在,分形的海潮早已褪去,曾经的研究者们早已物是人非,浪花淘尽,却少有风流人物。
分形的研究源于Mandelbrot于1967年在Science上的一篇论文[1],这篇论文非常简单,简单得以至于任何领域的人都可以follow。笔者认为这是“分形”能火的一个重要因素。Mandelbrot在论文[1]中提出一种测量不规则曲线长度的新方法,并且发现这种曲线的维度可以是一个大于1的分数。分形图像的分数维度由此而来。后来进入的大量研究者,将此方法用于测量各种不规则图形的长度、面积、体积,并确定这些图形相应的维度,从而发表了大量的论文。但是,当时的分形研究[1]也有一个致命的缺陷,那就是所谓的“分数维度”只是一个数学观念:尽管人们可以确定各式各样图形的分数维度,但是这又有何用?如果无法回答这个问题,分形的研究必将进入一个瓶颈。这个瓶颈来的...
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  大多数的人都应该知道牛顿方程,就我自己的记忆而言,最早接触到牛顿方程应该是在高二,那时我们管它叫“牛顿第二定律”——F=ma。正因为有这么一个方程的存在,真正意义上的物理学才宣告成立。
                 
                                        牛顿
牛顿方程当然是非常成功的,它可以精确的预言宏观世界中任何物体的运动规律。并且正因为牛顿方程的巨大成功,使得法国物理学家拉普拉斯曾不无得意的说道:“宇宙像时钟那样运行,某一时刻宇宙的完整信息能够决定它在未来和过去任意时刻的状态。”这就是著名的“拉普拉斯决定论”。
                   
                拉普拉斯                                        庞加莱
拉普拉斯决定论在很长一段时间内都占据了物理学的主流思潮。大家相信,只要精确地知道一个系统演化的方程和初值,就可以精确预言它任何时刻的运动。而真正对这一思潮产生怀疑还要等到20世纪初。...
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  量子物理效应产生的可能原因(一)
 
20世纪发生了两次重大的物理学革命——相对论与量子力学。爱因斯坦亲自参与了两次物理学革命,总的来说,相对论较为简单,爱因斯坦几乎依靠自己的力量建立了完整的相对论理论(狭义相对论与广义相对论)。不过量子力学就比较麻烦了,尽管经过一大批物理学家(普朗克、爱因斯坦、玻尔、泡利、海森堡、德布罗意、薛定谔、狄拉克……费曼、史温格、朝永振一郎……)的努力,量子力学和量子场论被建立,但是量子物理效应为什么会产生却没有人知道。
正如爱因斯坦晚年所感叹:“整整50年有意识的思考仍没有使我更接近‘光量子是什么’”。
事实上,爱因斯坦花在量子论上的时间并不比相对论少,但是爱因斯坦显然并没有领悟量子为什么会产生。因此后世的人们常常误解“爱因斯坦排斥量子力学”。其实爱因斯坦并非排斥量子力学,而是对目前的量子理论不满意而已。爱因斯坦在晚年研究统一场时,曾说道:也许我们需要建立一种离散的代数理论,在其中量子力学会自动出来。遗憾的是,爱因斯坦已经没有机会发展如此一种数学理论了。
不过在当今这个时代,也许我们已经可以对量子物理效应产生的原因给出一个可能的解释。
众所周知,量子场论总会出现发散(divergence),因此发展了重整化技术,而重整化技术中最便利的一种技术就是维数正规化(dimensional regularization),Gerard't...
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  大家可能还没有听过ScienceOpen杂志,这并不奇怪,因为它是2014年才成立的杂志,并不出名。不过,这个杂志很可能会引发科技出版界的一场革命。
人类历史上的第一本科学期刊可能要追溯到伦敦皇家学会于1665年所主办的学术期刊Philosophical Transactions(下图)。创办学术期刊的目的是什么呢?按照最早的理念当然是:to inform the scientific community about new discoveries – and togain recognition in return(向科学共同体报告新的发现,以获取认可)。
科技出版的一次重要的进步当然就是同行评审制度。不过现代的人们可能并没有思考同行评审制度引入的真实原因。在20世纪中叶以前,人类的科学出版发行,主要依靠纸张和印刷技术,这是比较昂贵的成本。因此,出版商在出版科技期刊的时候,必须保证印刷出来的论文或者书籍不是“一无是处”的废纸。所以,出版商会请求科学共同体中的有名望的学者对将要印刷的论文进行检查,并剔除那些没有价值的论文,这能极大的避免由印刷和出版“无用论文”所带来的时间与金钱的浪费。这就是“同行评审”的主要由来。而处于对负责论文审查的学者的安全因素考虑,审查者的信息不会被公布,这样就出现了“匿名审稿制度”。匿名审稿制度本来是一个很好的科学出版制度,但是一件事物要是走向极端就会产生相反的作用。在当今时代,“出版”几乎等同于“匿名评审通过”。So, the term “published” became equivalent to “peer reviewed” andto...
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    大家应该知道Wilson1973年时在PRD发表了一篇文章,阐明分数维量子场论的可能性,比如他假设我们的时空为3.99维。在这篇文章,他主要以希格斯标量场为例,发展了分数维量子场论,他进一步指出这可以消除γϕ^4项的紫外发散。在随后的几年,他将3.99维的ϕ^4场论用到了临界现象中,并计算出了与实验符合的临界指数。这就是Wilson著名的重整化群工作。1982年他因为这个工作而获得了诺贝尔物理学奖。
    不过值得注意的是,Wilson1973年在PRD的文章在推导分数维量子场论时,猜测了一个分数维积分公式。这个积分公式正是他整个理论的关键基石。但是他没有办法证明这个公式,因此说“将其严格证明留给数学家”。所以他并没有得出分数维导数公式到底像什么样?
    导数和积分应该缺一不可,不能只有积分没有导数。
    尽管,数学界有一门源于莱布尼兹的数学分支——分数阶微积分,并且在20世纪的时候很多人猜测这套微积分就是描述分数维流形的微积分理论。但是这个理论的积分公式显然与Wilson1973猜测的积分公式完全不同。这样,寻求分数维微积分的线索又断了。
    最近国外一个数学期刊发表了一篇文章The Validity of Dimensional Regularization Method on Fractal Spacetime
   文章的连接是:Journal of Applied...
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  数学作为人类文明史上最耀眼的思想成就之一,影响着人类社会的方方面面。如果在古希腊几何学与代数学的诞生可以看作数学的萌芽,那么17世纪分析学的诞生则预示着数学真正成长起来了。不过,在任何时代来看,数学都绝非真正可以做到成熟与完备。“无穷大”这一概念自分析学出现以来,就一直迷惑着每一位顶尖的数学家。这使得妄图以康托尔集合论统一整个数学体系的希尔伯特不得不以沉重的失败而告终。或许,数学本身正如庞加莱所深刻的指出那样,是“直觉主义”的产物。
 
但如果真如希尔伯特所妄想的那样——数学是“逻辑主义”的产物,我们将不得不追溯数学定义本身的合理性。为了更清晰的表达我的思想,我下面以“几何学”为例。
 
众所周知,“点”、“线”这种最基本的数学对象是被欧几里得所定义的。在欧几里得看来,“点”被定义为“没有大小的几何体”。但是现实的世界中,我们所观测的“点”都是有大小。这就出现了一个很大的问题,几何学所描述的几何对象与现实中的几何体是有偏差的。正因为这样,妥协性的说辞——“近似性描述”成为几何学自洽于现实几何的一个解释。
 
比如,相对于宏观世界而言,电子就可以被近似的看作一个“点”。而庞加莱关于电子自能的计算表明,如果电子真的是一个体积为0的点,那么电子的能量将趋于无穷大。这意味着,在经典物理来看,点状的物体是无意义的,这也被认为是“点模型”的缺陷。
 
后来量子力学出现了,电子...
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